4 多元线性回归

多特征

设有n个特征，$x^{(i)}$表示第i个样本的特征向量，形状为$n\times 1$。$x_j^{(i)}$表示第i个样本的第j个特征的值。

特征有多个时，我们可以假设$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\dots +{\theta }_n{x}_n$,可以让$x_0=1$，这样$h_{\theta }(x)={\theta }^{T}x$

梯度下降更新参数，左图为只有1个特征，右图为有多个特征时：

如何让梯度下降收敛更快：（1）特征缩放Feature Scaling（2）学习率

特征缩放

当特征值的取值范围差距很大时，会相应的导致梯度差距很大，参数更新可能左右横跳，导致收敛速度变慢，如左图；

我们可以让变量除以极差（max-min）来进行特征缩放，让变量取值范围相近，缓解这一问题

左右横跳是因为θ1的偏导相对θ2太大，相对的θ1下降步数太大，从山谷这头一下子迈到山谷那头，永远没头。

均值归一化（Mean Normalization）：将数据的每个特征调整为均值为 0，范围标准化为固定区间（通常是 [-1, 1]）

$x_{norm}=\frac{x-u}{x_{max}-x_{min}}$，其中$u$为均值

标准化（Standardization）：调整为均值为 0，标准差为 1，适合于分布接近正态分布的数据

$x_{stand}=\frac{x-u}{\sigma }$, 其中$\sigma$为标准差

学习率

如何确保梯度下降正常工作？（1）绘制损失函数随迭代次数的曲线图。损失函数逐步下降说明正常工作；当损失函数较为平坦时，说明已经收敛（2）自动收敛测试，当某次迭代后，学习率下降很少$<ϵ$说明已经收敛, 但$ϵ$取值较难设定。常用方法一

当损失函数曲线逐步上升或成屁股形时，说明学习率取值过大，应调小学习率

当学习率充分小时，损失函数的值会逐步下降。但梯度下降算法会收敛的很慢。

总结：学习率太小会收敛很慢；学习率太大，损失会增加；可能不收敛；可能收敛很慢。

如何选择学习率：先确定学习率的最小最大值，再在区间内尝试找到可以快速收敛的学习率。可以每3倍3倍的尝试。

特征和多项式回归

设计特征：我们可以不使用$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1\times x_1+{\theta }_2\times x_2$，其中$x_1$为房子长度，$x_2$为房子宽度。我们可以设计特征房子面积$x=x_1\times x_2$，令$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1\times x$

多项式回归：分析数据点的分布情况，我们可以使用某个特征的根号项、二次项、三次项来作为函数的类型来进行拟合。注意：在有多次项的时候，特征缩放显得更加重要。

正规方程

求解参数$\theta$的方法：（1）梯度下降、正规方程

思想：令损失函数的偏导为0，解出$\theta$.

方法：在数据中加入$x_0$特征这一列并初始化为1，将数据的每一项特征作为矩阵$X$的一列，所有数据的标签作为向量$y$。则$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$.

梯度下降vs正规方程：（1）梯度下降需要选择学习率，并且需要迭代多次；而正规方程不需学习率，不需迭代。（2）梯度下降当n很大时仍有效，而正规方程时间复杂度较高。

计算逆矩阵的复杂度为$O(n^3)$，当$n\le 1e4$时使用正规方程，反之使用梯度下降。而且梯度下降在以后复杂方法中也可以求解，正规方程可能不可。

当（1）含有多余特征时，其中某些特征存在线性相关关系（2）特征太多时，样本数<=特征数。会出现矩阵$X^{T}X$不可逆的情况。尝试（1）删除多余的特征（2）删除某些特征或正则化

矢量化

$h_{\theta }(x)=\sum _{j=0}^n{\theta }_j{x}_j$对应未矢量化的代码(for)，左半部分。

$h_{\theta }(x)={\theta }^{T}x$对应矢量化的代码，右半部分。运行效率更快。

在梯度下降更新参数$\theta$时，我们可以使用矢量化完成参数同步更新、缩短代码、更高效。

我们可以将参数更新的公式记为$\theta :=\theta -\alpha \delta$.这里$\theta \in {\mathbb{R}}^{n+1},\alpha \in \mathbb{R},\delta \in {\mathbb{R}}^{n+1}.$ where $\delta=\frac{1}{m}\sum^{m}{i=1}{(h{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})(x^{i})}$.

下面说明为什么$\delta$是n+1维的向量。

求和号中的$(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\in \mathbb{R}$表示用第i个样本的预测值-实际值，是一个数。$(x^i)\in {\mathbb{R}}^{n+1}$表示第i个样本的特征向量，是一个向量。得证。

将求和号展开，即$\sum^{m}{i=1}{(h{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})(x^{i})}=(h_{\theta}(x^{(1)})-y^{(1)})x^{(1)}+(h_{\theta}(x^{(2)})-y^{(2)})x^{(2)}+…$，\mathrm{其}\mathrm{中}$(h_{\theta}(x^{(1)})-y^{(1)}),(h_{\theta}(x^{(2)})-y^{(2)})$\mathrm{是}\mathrm{数}，$x^{(1)},x^{(2)}$是向量。

其中将$x^{(i)}$展开为向量，只关注$x_0^{(i)}$的项，相乘相加即为${\delta }_0$。